Страница:
<< 61 62 63 64
65 66 67 >> [Всего задач: 393]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Петя поставил на доску 50×50 несколько фишек, в каждую клетку – не больше одной. Докажите, что у Васи есть способ поставить на свободные поля этой же доски не более 99 новых фишек (возможно, ни одной) так, чтобы по-прежнему в каждой клетке стояло не больше одной фишки, и в каждой строке и каждом столбце этой доски оказалось чётное количество фишек.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
В стране лингвистов существует n языков. Там живет m людей, каждый из которых знает ровно три языка, причём для разных людей эти наборы различны. Известно, что максимальное число людей, любые два из которых могут поговорить без посредников, равно k. Оказалось, что 11n ≤ k ≤ m/2.
Докажите, что тогда в стране найдутся хотя бы mn пар людей, которые не смогут поговорить без посредников.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q (p и q взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Электрическая схема имеет вид решётки 3×3: всего в схеме 16 узлов (вершины квадратиков решётки), которые соединены проводами (стороны квадратиков решётки). Возможно, часть проводов перегорела. За одно измерение можно выбрать любую пару узлов схемы и проверить, проходит ли между ними ток (то есть, проверить, существует ли цепочка неперегоревших проводов, соединяющая эти узлы). В действительности схема такова, что ток проходит от любого узла к любому. За какое наименьшее число измерений всегда можно в этом удостовериться?
б) Тот же вопрос для решётки 7×7 (всего 64 узла).
Страница:
<< 61 62 63 64
65 66 67 >> [Всего задач: 393]
Фильтр
