Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]

Задача 58383

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ лежат соответственно на сторонах AB, BC, CD, DA. На сторонах A₁B₁, B₁C₁, C₁D₁, D₁A₁ четырехугольника A₁B₁C₁D₁ взяты соответственно точки A₂, B₂, C₂, D₂. Известно, что

$\displaystyle {\frac{AA_1}{BA_1}}$ = $\displaystyle {\frac{BB_1}{CB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{CC_1}{DC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{DD_1}{AD_1}}$ = $\displaystyle {\frac{A_1D_2}{D_1D_2}}$ = $\displaystyle {\frac{D_1C_2}{C_1C_2}}$ = $\displaystyle {\frac{C_1B_2}{B_1B_2}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1A_2}{A_1A_2}}$ .

Докажите, что A₂B₂C₂D₂ — параллелограмм со сторонами, параллельными сторонам ABCD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58384

Тема:

[

Решение задач при помощи аффинных преобразований

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC даны точки M, N и P соответственно. Докажите:
а) если точки M₁, N₁ и P₁ симметричны точкам M, N и P относительно середин соответствующих сторон, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.
б) если M₁, N₁ и P₁ — такие точки сторон AC, BA и CB, что MM₁| BC, NN₁| CA и PP₁| AB, то S_MNP = S_M₁N₁P₁.

Прислать комментарий Решение

Задача 58365

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

а) Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое переводит данную точку O в данную точку O', а данный базис векторов e₁, e₂ — в данный базис e₁', e₂'.
б) Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, переводящее точку A в A₁, B — в B₁, C — в C₁.
в) Даны два параллелограмма. Докажите, что существует единственное аффинное преобразование, которое один из них переводит в другой.

Прислать комментарий Решение

Задача 58366

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно перевести в правильный пятиугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 58367

Тема:

[

Аффинные преобразования и их свойства

]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Докажите, что если при аффинном (не тождественном) преобразовании L каждая точка некоторой прямой l переходит в себя, то все прямые вида ML(M), где в качестве M берутся произвольные точки, не лежащие на прямой l, параллельны друг другу.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 39]