Каталог по темам

Задачи

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 1376]

Задача 111767

Темы:	[	Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры	]
	[	Раскраски	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Мурашкин М.В.

На плоскости отмечено несколько точек, каждая покрашена в синий, желтый или зеленый цвет. На любом отрезке, соединяющем одноцветные точки, нет точек этого же цвета, но есть хотя бы одна другого цвета. Каково максимально возможное число всех точек?

Прислать комментарий Решение

Задача 73549

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Описанные многогранники	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Касательные к сферам	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

У выпуклого белого многогранника некоторые грани покрашены чёрной краской так, что никакие две чёрные грани не имеют общего ребра. Докажите, что если а) чёрных граней больше половины; б) сумма площадей чёрных граней больше суммы площадей белых граней, то в этот многогранник нельзя вписать шар.

Прислать комментарий Решение

Задача 78547

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78630

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Метод координат в пространстве (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

В восьми данных точках пространства установлено по прожектору, каждый из которых может осветить в пространстве октант (трёхгранный угол со взаимно-перпендикулярными сторонами). Доказать, что можно повернуть прожекторы так, чтобы они осветили все пространство.

Прислать комментарий Решение

Задача 107627

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]

Сложность: 5-
Классы: 6,7,8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

Прислать комментарий Решение

Страница: << 143 144 145 146 147 148 149 >> [Всего задач: 1376]