Каталог по темам

Задачи

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 1371]

Задача 109944

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Прислать комментарий Решение

Задача 110060

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Карасев Р.

На плоскости дано бесконечное множество точек S , при этом в любом квадрате 1×1 лежит конечное число точек из множества S . Докажите, что найдутся две разные точки A и B из S такие, что для любой другой точки X из S выполняются неравенства:

|XA|,|XB| 0,999|AB|.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110090

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий Решение

Задача 110181

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Ориентированные графы	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Отношение порядка	]

Сложность: 5-

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Даны N ≥ 3 точек, занумерованных числами 1, 2, ..., N. Каждые две точки соединены стрелкой от меньшего номера к большему. Раскраску всех стрелок в красный и синий цвета назовем однотонной, если нет двух таких точек A и B, что от A до B можно добраться и по красным стрелкам, и по синим. Найдите количество однотонных раскрасок.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111344

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 146 147 148 149 150 151 152 >> [Всего задач: 1371]