Страница: << 165 166 167 168 169 170 171 >> [Всего задач: 1376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97805

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Выигрышные и проигрышные позиции ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

  а) На бесконечном листе клетчатой бумаги двое играют в такую игру: первый окрашивает произвольную клетку в красный цвет; второй окрашивает произвольную неокрашенную клетку в синий цвет; затем первый окрашивает произвольную неокрашенную клетку в красный цвет, а второй еще одну неокрашенную клетку в синий цвет и т. д. Первый стремится к тому, чтобы центры каких-то четырёх красных клеток образовали квадрат со сторонами, параллельными линиям сетки, а второй хочет ему помешать. Может ли выиграть первый игрок?
  б) Каков будет ответ на этот вопрос, если второй игрок закрашивает синим цветом сразу по две клетки?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107844

Темы:   [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Векторы помогают решить задачу ] [ Вспомогательные проекции ] [ Геометрические неравенства (прочее) ] [ Параллельный перенос (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

На плоскости дано конечное число полос, сумма ширин которых равна 100, и круг радиуса 1.
Докажите, что каждую из полос можно параллельно перенести так, чтобы все они вместе покрыли круг.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109840

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Целочисленные решетки (прочее) ] [ Алгебраические методы ] [ Метод координат на плоскости ] [ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ] [ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все 50· 70 вершин клеток. Двое играют в следующую игру: каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком, при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков. Отрезки могут содержать общие точки. Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся. Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает второй. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57786

Тема:   [ Барицентрические координаты ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10

Найдите уравнение описанной окружности треугольника A₁A₂A₃ в барицентрических координатах.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58175

Темы:   [ Эйлерова характеристика ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 165 166 167 168 169 170 171 >> [Всего задач: 1376]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями