Страница:
<< 74 75 76 77
78 79 80 >> [Всего задач: 594]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10
|
Из клетчатого квадрата 55×55 вырезали по границам клеток 400 трёхклеточных уголков 
(повёрнутых как угодно) и ещё 500 клеток.
Докажите, что какие-то две вырезанные фигуры имеют общий отрезок границы.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В волейбольном турнире участвовали 110 команд, каждая сыграла с каждой из остальных ровно одну игру (в волейболе не бывает ничьих). Оказалось, что в любой группе из 55 команд найдётся одна, которая проиграла не более чем четырём из остальных 54 команд этой группы. Докажите, что во всём турнире найдётся команда, проигравшая не более чем четырём из остальных 109 команд.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных) $a(b - c)$ делится на $n$, то $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Карточка матлото представляет собой таблицу 6×6 клеточек. Играющий отмечает 6 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете публикуется шестёрка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить девять карточек так, чтобы среди них
обязательно нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) восьми карточек для этого недостаточно.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Карточка матлото представляет собой таблицу 10×10 клеточек. Играющий
отмечает 10 клеточек и отправляет карточку в конверте. После этого в газете
публикуется десятка проигрышных клеточек. Докажите, что
а) можно заполнить 13 карточек так, чтобы среди них обязательно
нашлась "выигрышная" карточка – такая, в которой не отмечена ни одна проигрышная клеточка;
б) двенадцати карточек для этого недостаточно.
Страница:
<< 74 75 76 77
78 79 80 >> [Всего задач: 594]
Фильтр
