Страница:
<< 33 34 35 36
37 38 39 >> [Всего задач: 290]
У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10
|
От пирога, имеющего форму выпуклого пятиугольника, можно отрезать треугольный
кусок по линии, пересекающей в точках, отличных от вершин, две соседние стороны;
от оставшейся части пирога — следующий кусок (таким же образом) и т.д.
В какие точки пирога можно воткнуть свечку, чтобы её нельзя было отрезать?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На доске написано n натуральных чисел. За одну операцию вместо двух чисел, не делящих друг друга, можно написать их наибольший общий делитель и их наименьшее общее кратное.
а) Докажите, что можно провести только конечное число операций.
б) Финальный результат независимо от порядка действий будет одним
и тем же. Например:
(4, 6, 9) → (2, 12, 9) → (2, 3, 36) → (1, 6, 36),
(4, 6, 9) → (4, 3, 18) → (1, 12, 18) → (1, 6, 36).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Марсианские
амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу
5.76) можно исследовать самые разные
игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение
задачи
4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб
{
A,
B,
C} функцию
f, для которой выполнялись бы равенства
f (
A)
f (
B) =
f (
C),
f (
A)
f (
C) =
f (
B),
f (
B)
f (
C) =
f (
A).
Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
На доске было написано уравнение вида x² + px + q = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами p и q. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стёртого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?
Страница:
<< 33 34 35 36
37 38 39 >> [Всего задач: 290]
Фильтр
