Страница:
<< 37 38 39 40
41 42 43 >> [Всего задач: 290]
У Деда Мороза было n сортов конфет, по k штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по k подаркам, в каждый – по n конфет, и раздал их k детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
а) Есть неограниченный набор карточек со словами "abc", "bca", "cab". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром?
б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "abc", "bca", "cab" и синих карточек со словами "cba", "acb", "bac". Из них по тем же правилам составили палиндром. Верно ли, что было использовано одинаковое количество красных и синих карточек?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек n + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы.
Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет
занято.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Двое играющих по очереди пишут – каждый на своей половине доски – по одному натуральному числу (повторения разрешаются) так, чтобы сумма всех чисел на доске не превосходила 10000. После того, как сумма всех чисел на доске становится равной 10000, игра заканчивается подсчетом суммы всех цифр на каждой половине. Выигрывает тот, на чьей половине сумма цифр меньше (при равных суммах – ничья). Может ли кто-нибудь из игроков выиграть, как бы ни играл противник?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Дано
n фишек нескольких цветов, причём фишек каждого цвета не
более n/2. Докажите, что их можно расставить на окружности так, чтобы никакие две фишки одинакового цвета не стояли рядом.
Страница:
<< 37 38 39 40
41 42 43 >> [Всего задач: 290]
Фильтр
