Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 290]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78756

Темы:   [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Квадратный лист бумаги разрезали по прямой на две части. Одну из полученных частей снова разрезали на две части, и так много раз. Какое наименьшее число разрезов необходимо, чтобы среди полученных частей могло оказаться ровно 100 двадцатиугольников?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79493

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Квадратное поле разбито на 100 одинаковых участков, 9 из которых поросли бурьяном. Известно, что бурьян за год распространяется на те и только те участки, у каждого из которых не менее двух соседних участков уже поражены бурьяном (участки соседние, если они имеют общую сторону). Докажите, что полностью все поле бурьяном не зарастёт.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78721

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Полуинварианты ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Два мудреца играют в следующую игру. Выписаны числа 0, 1, 2,..., 1024. Первый мудрец зачёркивает 512 чисел (по своему выбору), второй зачёркивает 256 из оставшихся, затем снова первый зачёркивает 128 чисел и т.д. На десятом шаге второй мудрец зачёркивает одно число; остаются два числа. После этого второй мудрец платит первому разницу между этими числами. Как выгоднее играть первому мудрецу? Как второму? Сколько уплатит второй мудрец первому, если оба будут играть наилучшим образом? (Ср. с задачей 78710 и с задачей 78716.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107627

Темы:   [ Разные задачи на разрезания ] [ Полуинварианты ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Плоскость, разрезанная прямыми ]

Сложность: 5- Классы: 6,7,8,9,10,11

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой. Затем он разрезал по прямой один из получившихся кусков. Затем он проделал то же самое с одним из трёх получившихся кусков и т.д. Докажите, что после достаточного количества разрезаний можно будет выбрать среди получившихся кусков 100 многоугольников с одинаковым числом вершин (например, 100 треугольников или 100 четырёхугольников и т.д.).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109782

Темы:   [ Деревья ] [ Полуинварианты ] [ Перестройки ] [ Неравенство Коши ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дано дерево с n вершинами,  n ≥ 2.  В его вершинах расставлены числа x₁, x₂, x_n, а на каждом ребре записано произведение чисел, стоящих в концах этого ребра. Обозначим через S сумму чисел на всех рёбрах. Докажите, что  

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 290]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями