Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 490]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
В клетки таблицы m×n вписаны некоторые числа. Разрешается одновременно менять знак у всех чисел некоторого столбца или некоторой строки. Доказать, что многократным повторением этой операции можно превратить данную таблицу в такую, у которой суммы чисел, стоящих в каждом столбце и каждой строке, неотрицательны.
Даны два набора чисел: a1, ..., an и b1, ..., bn. Расположим числа ak в возрастающем порядке, а числа bk – в убывающем порядке. Получатся наборы
A1 ≤ ... ≤ An, B1 ≥ ... ≥ Bn. Доказать, что max{a1 + b1, ..., an + bn} ≥ max{A1 + B1, ..., An + Bn}.
Три треугольника – белый, зелёный и красный – имеют общую внутреннюю точку M. Докажите, что можно выбрать по одной вершине из каждого треугольника так, чтобы точка M находилась внутри или на границе треугольника, образуемого выбранными вершинами.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 6,7,8
|
В вершинах куба
ABCDEFGH расставлены натуральные числа так, что числа в
соседних (по ребру) вершинах отличаются не более чем на единицу. Докажите,
что обязательно найдутся две диаметрально противоположные вершины, числа в
которых отличаются не более чем на единицу.
(Пары диаметрально противоположных вершин куба: A и G, B и H, C и E, D и F.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
|
На плоскости задано
n точек. Известно, что среди любых трёх из
них имеются две, расстояние между которыми не больше 1. Доказать,
что на плоскость можно наложить два круга радиуса 1, которые
закроют все эти точки.
Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 490]
Фильтр
