Страница:
<< 54 55 56 57
58 59 60 >> [Всего задач: 423]
Может ли быть так, что а) σ(n) > 3n; б) σ(n) > 100n?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если α < 0 < β, то
Sα(x) ≤ S0(x) ≤ Sβ(x), причём 
Определение средних степенных Sα(x) можно посмотреть в справочнике.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
В координатном пространстве провели все плоскости с уравнениями x ± y ± z = n (при всех целых n). Они разбили пространство на тетраэдры и октаэдры. Пусть точка (x0, y0, z0) с рациональными координатами не лежит ни в одной проведённой плоскости. Докажите, что найдётся натуральное k, при котором точка (kx0, ky0, kz0) лежит строго внутри некоторого октаэдра разбиения.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B".
Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что для всех
x
(0
;
)
при
n>m , где
n,m – натуральные, справедливо неравенство
2| sinn x- cosn x|
3| sinm x- cosm x|;
Страница:
<< 54 55 56 57
58 59 60 >> [Всего задач: 423]
Фильтр
