Страница:
<< 97 98 99 100
101 102 103 >> [Всего задач: 838]
Три окружности имеют общую точку M и попарно пересекаются в
точках P, Q, R. Через произвольную точку A одной из
окружностей, лежащую на дуге PQ, не содержащей точки M, и
точки P и Q, в которых окружность пересекает две другие
окружности, проведены прямые, пересекающие эти же две
окружности в точках B и C. Докажите, что точки B, C и
R лежат на одной прямой.
В треугольнике ABC проведены медианы AA1, BB1, CC1 и высоты AA2, BB2, CC2.
Докажите, что длина ломаной A1B2C1A2B1C2A1 равна периметру треугольника ABC.
На стороне AB параллелограмма ABCD расположена точка K, на
продолжении стороны CD за точку D – точка L. Прямые KD и BL пересекаются в точке N, а прямые LA и CK – в точке M. Докажите, что MN || AD.
|
[Прямая Симсона]
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9
|
а) Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из точки P описанной окружности треугольника на его стороны или их продолжения, лежат на одной прямой (прямая Симсона).
б) Основания перпендикуляров, опущенных из некоторой точки P на
стороны треугольника или их продолжения, лежат на одной прямой. Докажите, что точка P лежит на описанной окружности треугольника.
На плоскости проведены n прямых, среди которых нет параллельных. Никакие три из них не пересекаются в одной точке. Докажите, что существует такая n-звенная несамопересекающаяся ломаная A0A1A2...An, что на каждой из n прямых лежит ровно по одному звену этой ломаной.
Страница:
<< 97 98 99 100
101 102 103 >> [Всего задач: 838]
Фильтр
