Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]
С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на n
равных частей.
Подсказка
На произвольном луче с началом в конце данного отрезка отложите n равных отрезков.
Решение
Пусть AB – данный отрезок. Возьмём произвольную точку C вне прямой AB. На луче AC отложим последовательно n равных отрезков. Конец D последного из них соединим с точкой B. Через концы отложенных отрезков проведём прямые, параллельные DB. По теореме
Фалеса эти прямые разделят отрезок AB также на n равных отрезков.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что BF = 2CF, CE = 2AE и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.
Решение
Через точки Е и F проведём прямые, параллельные АВ. Пусть они пересекают ВС и АС в точках K и L соответственно (см. рис.). По теореме Фалеса K – середина отрезка BF, L – середина отрезка CE. Отметим точку M пересечения KE и DF, тогда M – середина отрезка DF.
Таким образом,
ЕМ – медиана прямоугольного треугольника
DEF, проведённая к гипотенузе, поэтому ∠
MDE = ∠
MED. Кроме того, из параллельности прямых
МЕ и
AD следует, что ∠
MED = ∠
EDA. Значит, ∠
ADE = ∠
FDE.
Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$, точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$. Известно, что $AC = 3 AE$. Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.
Решение
Пусть $F$ – проекция $L$ на $AB$, $G$ – точка, симметричная $E$ относительно $F$. Тогда по теореме Фалеса $AE = EF = FG$ и $AG = 3 AE = AC$. Так как $AL$ – биссектриса угла $A$, а $FL$ – серединный перпендикуляр к $EG$, получаем, что $CL = LG = LE$.
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D
и E соответственно, причём AD/DB = BE/EC = 2 и ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.
Решение
Пусть BD = 2x и ∠BED = α. Тогда AD = 4x и ∠C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. Если проведённая прямая пересекает сторону AC в точке M, то по теореме о пропорциональных отрезках DM = ½ BD = x, BM = 3x = AM, то есть CM – медиана треугольника ABC. С другой стороны, так как ∠BCM = ∠BED = ½ ∠C, то CM – биссектриса треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный: AC = BC.
В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC,
точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP.
Найдите отношение OM : PC.
Решение
Проведём среднюю линию MN треугольника APC, параллельную AP. По теореме Фалеса OM = PN = NC.
Ответ
1 : 2.
Страница:
<< 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]
Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Прямые, лучи, отрезки и углы
>>
Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках
