Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]

Задача 54658

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Элементарные (основные) построения циркулем и линейкой	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки разделите данный отрезок на n равных частей.

Подсказка

На произвольном луче с началом в конце данного отрезка отложите n равных отрезков.

Решение

Пусть AB – данный отрезок. Возьмём произвольную точку C вне прямой AB. На луче AC отложим последовательно n равных отрезков. Конец D последного из них соединим с точкой B. Через концы отложенных отрезков проведём прямые, параллельные DB. По теореме Фалеса эти прямые разделят отрезок AB также на n равных отрезков.

Прислать комментарий

Задача 64997

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

В треугольнике ABC на сторонах AB, AC и BC выбраны точки D, E и F соответственно так, что BF = 2CF, CE = 2AE и угол DEF – прямой.
Докажите, что DE – биссектриса угла ADF.

Решение

Через точки Е и F проведём прямые, параллельные АВ. Пусть они пересекают ВС и АС в точках K и L соответственно (см. рис.). По теореме Фалеса K – середина отрезка BF, L – середина отрезка CE. Отметим точку M пересечения KE и DF, тогда M – середина отрезка DF.

Таким образом, ЕМ – медиана прямоугольного треугольника DEF, проведённая к гипотенузе, поэтому ∠MDE = ∠MED. Кроме того, из параллельности прямых МЕ и AD следует, что ∠MED = ∠EDA. Значит, ∠ADE = ∠FDE.

Прислать комментарий

Задача 66644

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Пусть $AL$ — биссектриса треугольника $ABC$ , точка $D$ — ее середина, $E$ — проекция $D$ на $AB$ . Известно, что $AC = 3 AE$ . Докажите, что треугольник $CEL$ равнобедренный.

Решение

Пусть $F$ – проекция $L$ на $AB$ , $G$ – точка, симметричная $E$ относительно $F$ . Тогда по теореме Фалеса $AE = EF = FG$ и $AG = 3 AE = AC$ . Так как $AL$ – биссектриса угла $A$ , а $FL$ – серединный перпендикуляр к $EG$ , получаем, что $CL = LG = LE$ .

Прислать комментарий

Задача 108924

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки D и E соответственно, причём ^AD/_DB = ^BE/_EC = 2 и ∠C = 2∠DEB.
Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный.

Решение

Пусть BD = 2x и ∠BED = α. Тогда AD = 4x и ∠C = 2α. Через вершину C проведём прямую, параллельную DE. Если проведённая прямая пересекает сторону AC в точке M, то по теореме о пропорциональных отрезках DM = ½ BD = x, BM = 3x = AM, то есть CM – медиана треугольника ABC. С другой стороны, так как ∠BCM = ∠BED = ½ ∠C, то CM – биссектриса треугольника ABC. Следовательно, треугольник ABC – равнобедренный: AC = BC.

Прислать комментарий

Задача 115653

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Средняя линия треугольника	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

В треугольнике ABC точка M – середина стороны AC, точка P лежит на стороне BC. Отрезок AP пересекает BM в точке O. Оказалось, что BO = BP.
Найдите отношение OM : PC.

Решение

Проведём среднюю линию MN треугольника APC, параллельную AP. По теореме Фалеса OM = PN = NC.

Ответ

1 : 2.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 200]