ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      



Задача 58308

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9

Докажите, что в выпуклом n-угольнике нельзя выбрать больше n диагоналей так, чтобы любые две из них имели общую точку.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78140

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Бесконечная плоская ломаная A0A1...An..., все углы которой прямые, начинается в точке A0 с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OAn = ln. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна sn. Доказать, что найдётся n, для которого $ {\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.
Прислать комментарий     Решение


Задача 110769

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
[ Разные задачи на разрезания ]
[ Куб ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Куб с ребром 2n+1 разрезают на кубики с ребром 1 и бруски размера 2x 2x 1 . Какое наименьшее количество единичных кубиков может при этом получиться?
Прислать комментарий     Решение


Задача 58310

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

На прямой даны точки A1,..., An и  B1,..., Bn - 1. Докажите, что

$\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}$    $\displaystyle {\frac{\prod\limits_{k=1}^{n-1} \overline{A_iB_k}}{\prod\limits_{j\ne 1}
\overline{A_iA_j}}}$ = 1.


Прислать комментарий     Решение

Задача 65580

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Раскраски ]
[ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются друг с другом. Каждый отрезок покрашен в один из K цветов. Петя хочет покрасить каждую точку в один из этих цветов так, чтобы не нашлось двух точек и отрезка между ними, окрашенных в один цвет. Всегда ли Пете это удастся, если
  a)  K = 7;   б)  K = 10?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .