Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 328]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук
каждого цвета.
Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
На какую максимальную степень тройки делится число, десятичная запись которого состоит из 3n единиц?
|
[Ханойская башня I]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
|
а) Головоломка "Ханойская башня" представляет собой восемь дисков, нанизанных в порядке уменьшения размеров на один из трёх колышков. Требуется переместить всю башню на другой колышек, перенося каждый раз только один диск и не помещая больший диск на меньший. Докажите, что головоломка имеет решение. Какой способ будет оптимальным (по числу перекладываний дисков)?
б) Занумеруем колышки числами 1, 2, 3. Требуется переместить диски с 1-го колышка на 3-й. Сколько понадобится перекладываний, если прямое перемещение диска с 1-го колышка на 3-й и с 3-го на 1-й запрещено (каждое перекладывание должно производиться через 2-й колышек)?
в) Сколько понадобится перекладываний, если в условии пункта а) добавить дополнительное требование: первый (самый маленький) диск нельзя класть на 2-й колышек?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде
3u12v1 + 3u22v2 + ... + 3uk2vk, где u1 > u2 > ... > uk ≥ 0 и 0 ≤ v1 < v2 < ... < vk – целые числа.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Любое число $x$, написанное на доске, разрешается заменить либо на 3$x$ + 1, либо на [x/2].
Докажите, что если вначале написано число 1, то такими операциями можно получить любое натуральное число.
Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 328]
Фильтр
