Назовём натуральное число хорошим, если в его десятичной записи есть только нули и единицы. Пусть произведение двух хороших чисел оказалось хорошим числом. Правда ли, что тогда сумма цифр произведения равна произведению сумм цифр сомножителей?

(В 44-м Турнире городов задача предлагалась в эквивалентной формулировке: хорошие числа были названы заурядными)

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 71]      

На отрезке длиной 1 закрашено несколько отрезков, причем расстояние между любыми двумя закрашенными точками не равно 0, 1. Докажите, что сумма длин закрашенных отрезков не превосходит 0, 5.

Решение

Разрежем отрезок на десять отрезков длиной 0, 1, сложим их стопочкой и спроецируем на такой же отрезок (рис.). Так как расстояние между любыми двумя окрашенными точками не равно 0, 1, то окрашенные точки соседних отрезков не могут проецироваться в одну точку. Поэтому ни в одну точку не могут проецироваться окрашенные точки более чем пяти отрезков. Следовательно, сумма длин проекций окрашенных отрезков (равная сумме их длин) не превосходит 5 ^. 0, 1 = 0, 5.

Прислать комментарий

На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

Решение

Решим задачу для n дуг. Обозначим сумму длин n дуг, образующих множество F через S (Поскольку нас интересует только относительная длина дуг, мы будем измерять ее в градусах.) .

S может быть сколь угодно близко к . Достаточно привести пример: располагаем (n-1) дугу, длина каждой из которых равна так, чтобы центры любых двух соседних отстояли на , а за (n-1) -й помещаем n -ю дугу с длиной так, чтобы расстояние между их ближайшими концами равнялось .

Легко проверяется, что указанная система дуг удовлетворяет условию задачи. При соответствующем выборе a₀ сумма длин дуг будет как угодно близка к .

Если же точку на окружности считать дугой нулевой длины, то, заменив в примере все дуги, кроме последней, на точки, получаем множество F с суммой длин дуг, равной (рис.1).

Докажем, что сумма S длин дуг не может быть меньше этого числа. Представим себе, что мы имеем два экземпляра нашей окружности, на которых размещены те же самые n дуг. Повернем одну из окружностей на угол ϕ , 0< ϕ<360^o . Рассмотрим множество U_ij всех таких значений ϕ , для которых при таком повороте i -я дуга повернутой окружности пересекается с j -й дугой неподвижной окружности. Нарисуем отдельно "контрольную" окружность (с выбранной на ней начальной точкой ϕ=0 (рис.2)) и отметим на ней множества U_ij для всех i, j от 1 до n . Ясно, что U_ij является дугой с длиной, равной сумме длин i -й и j -й дуг.

Отмеченные множества U_ij должны заполнять всю "контрольную" окружность, так как при любом повороте какие-то две дуги нашего множества должны пересекаться, поэтому сумма длин всех U_ij не меньше 360^o . С другой стороны, эта сумма равна 2n · S , так как каждая дуга множества входит в сумму 2n раз.

Отсюда получаем, что S = . Нетрудно заметить, что неравенство должно быть строгим (если отдельные точки не считать дугами), так как любые две области U_ii и U_jj имеют общий участок, содержащий начало отсчета.

Прислать комментарий

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Решение

Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда какая-либо отмеченная точка лежит на отмеченной дуге. Нужно доказать, что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной. Конечный результат работы маляра будет такой же, как если бы ему поручили на i-м обороте красить окружность, когда i-я отмеченная точка лежит на одной из отмеченных дуг, и сделали бы 100 оборотов. Так как в этом случае при каждом обороте окрашивается меньше 1 см, после 100 оборотов будет окрашено меньше 100 см. Поэтому часть окружности останется неокрашенной.

Прислать комментарий

Даны две одинаковые окружности. На каждой из них отмечено по k дуг, угловые величины каждой из которых меньше ^. 180^o, причем окружности можно совместить так, чтобы отмеченные дуги одной окружности совпали с отмеченными дугами другой. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы все отмеченные дуги оказались на неотмеченных местах.

Решение

Совместим данные окружности и посадим в фиксированную точку одной из них маляра. Будем вращать эту окружность и поручим маляру красить ту точку окружности, мимо которой он проезжает, всякий раз, когда пересекаются какие-либо отмеченные дуги. Нужно доказать, что после полного оборота часть окружности останется неокрашенной. Конечный результат работы маляра будет такой же, как если бы ему поручили на i-м обороте красить окружность, когда i-я отмеченная дуга окружности, на которой сидит маляр, пересекается с какой-либо отмеченной дугой другой окружности, и сделали бы k оборотов.
Пусть ,..., — угловые величины отмеченных дуг. По условию < ,..., < , где = 180^o/(k² - k + 1). За то время, пока пересекаются отмеченные дуги с номерами i и j, маляр окрашивает дугу величиной + . Поэтому сумма угловых величин дуг, окрашенных маляром на i-м обороте, не превосходит k + ( +...+ ), а сумма угловых величин дуг, окрашенных за все k оборотов, не превосходит 2k( +...+ ). Заметим, что при этом пересечение дуг с одинаковыми номерами мы учли фактически k раз. В частности, точка A, мимо которой проезжает маляр в тот момент, когда совпадают отмеченные дуги, заведомо покрашена k раз. Поэтому целесообразно выбросить из рассмотрения те дуги окружности, которые маляр красит в моменты пересечения каких-либо отмеченных дуг с одинаковыми номерами. Так как все эти дуги содержат точку A, то фактически мы выбросили только одну дугу, причем угловая величина этой дуги не превосходит 2. Сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных на i-м обороте, не превосходит (k - 1) + ( +...+ - ), а сумма угловых величин оставшейся части дуг, окрашенных за все k оборотов, не превосходит (2k - 2)( +...+ ) < (2k² - 2k). Часть окружности останется неокрашенной, если выполняется неравенство (2k²-2k)360^o - 2, т. е. 180^o/(k² - k + 1).

Прислать комментарий

В коридоре длиной 100 м постелено 20 дорожек общей длиной 1 км. Ширина каждой дорожки равна ширине коридора.
Какова максимально возможная суммарная длина незастеленных участков коридора?

Подсказка

Какова минимальная длина самой длинной из дорожек?

Решение

  Оценка. Из 20 дорожек суммарной длиной  1000 = 20·50 м  длина хотя бы одной не меньше 50 м. Таким образом, даже одна из дорожек покрывает не меньше 50 м.
  Пример. Возьмём 20 дорожек по 50 м и положим их точно друг на друга.

Ответ

50 м.

Прислать комментарий

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 71]