Каталог по темам

Задачи

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 71]

Задача 64969

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65321

Темы:	[	Математическая статистика	]
	[	Средние величины	]
	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Точку O, лежащую внутри треугольника ABC, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов AOB, AOC и BOC меньше чем
а) ^10π²/₂₇;
б) ^2π²/₉.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35008

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости расположено n точек (n > 3), никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что среди треугольников с вершинами в данных точках остроугольные треугольники составляют не более трёх четвертей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 52479

Темы:	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Неравенства с углами	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Общие четырехугольники	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

На сторонах выпуклого четырёхугольника как на диаметрах построены четыре круга. Докажите, что они покрывают весь четырёхугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 108201

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE сторона AB перпендикулярна стороне CD, а сторона BC – стороне DE.
Докажите, что если AB = AE = ED = 1, то BC + CD < 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 71]