Страница:
<< 6 7 8 9 10 11
12 >> [Всего задач: 60]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На прямой выбрано 100 множеств
A1, A2, .. , A100
, каждое из которых является объединением 100
попарно непересекающихся отрезков.
Докажите, что пересечение множеств
A1, A2, .. , A100
является объединением не более 9901 попарно непересекающихся отрезков
(точка также считается отрезком).
На плоскости дано множество S, состоящее из чётного числа точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что S можно разбить на два множества X и Y так, что выпуклые оболочки conv X и conv Y имеют поровну вершин.
Рассматривается произвольный многоугольник (возможно, невыпуклый).
а) Всегда ли найдётся хорда этого многоугольника, которая делит
его площадь пополам?
б) Докажите, что найдётся такая хорда, что площадь каждой из частей, на которые она разбивает многоугольник, не меньше чем ⅓ площади всего многоугольника.
в) Можно ли в пункте б) заменить число ⅓ на большее?
(Хордой многоугольника называется отрезок, концы которого принадлежат контуру многоугольника, а сам он целиком принадлежит многоугольнику, включая контур).
Выпуклый фанерный многоугольник P лежит на деревянном столе. В стол можно вбивать гвозди, которые не должны проходить через P, но могут касаться его границы. Фиксирующим называется набор гвоздей, не позволяющий двигать P по столу. Найдите минимальное количество гвоздей, позволяющее зафиксировать любой выпуклый многоугольник.
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что выпуклый многоугольник может быть разрезан
непересекающимися диагоналями
на остроугольные треугольники не более, чем одним способом.
Страница:
<< 6 7 8 9 10 11
12 >> [Всего задач: 60]
Фильтр
