Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 185]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.
Решение
Пусть O – центр пирога. Легко видеть, что окружность, построенная на BO как на диаметре, проходит через середины K и L сторон сторон AB и BC (см. рис.).
Пусть
P – точка, в которой пересекаются разрезы (или их продолжения), проведенные из точек
K и
L. Если точка
P лежит внутри круга
OKBL, то
KP и
LP не больше
BO = 1, так что в точке
P пересекаются сами разрезы, а не их продолжения. Таким образом, от пирога отрезан кусок
KPLB.
Пусть теперь
P лежит вне круга. Тогда
∠
KPL < ∠
KOL, откуда легко следует, что ∠
OKP < ∠
OLP, то есть α < β. Остается заметить, что так как точки
K,
L,
M идут по кругу, то не могут одновременно выполняться неравенства α < β, β < γ, ..., δ < α. Это и означает, что хотя бы один кусок будет отрезан.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
В невыпуклом шестиугольнике каждый угол равен
либо 90, либо 270 градусов. Верно ли, что при некоторых длинах
сторон его можно разрезать на два подобных ему и неравных между
собой шестиугольника?
Решение
Пусть
t – корень уравнения
t4+t2=1
. Возьмем
шестиугольник
ABCDEF , в котором
AB:BC=BC:CD=CD:AF=AF:FE=FE:ED=
, и разрежем его, как
на рис.9.4. Тогда получившиеся шестиугольники подобны
ABCDEF с
коэффициентами
t и
t2 .
Многоугольник можно разбить на 100 прямоугольников, но нельзя – на 99. Докажите, что его нельзя разбить на 100 треугольников.
Решение
Заметим, что каждые два прямоугольника разбиения имеют параллельные стороны (можно считать, что горизонтальные и вертикальные). Поэтому количество сторон нашего многоугольника чётно (его горизонтальные и вертикальные стороны чередуются).
Лемма. Если 2k-угольник можно разбить на прямоугольники, то его можно разбить на не более чем k – 1 прямоугольник.
Доказательство. Сумма углов многоугольника S = (2k – 2)180°, и все углы в нём равны 90°
или 270°. Если все они по 90°, то это прямоугольник.
Пусть найдётся угол A в 270°. Продолжим одну из его сторон
внутрь многоугольника до пересечения с контуром. Многоугольник разобьётся на две части, причём сумма внутренних углов частей не превосходит суммы внутренних углов многоугольника (продолжение стороны отрезает от угла A угол в 90°, который попадает в одну из частей, и угол в 180°, который лежит на стороне другой части, поэтому исчезает; в то же время дополнительно в этих
частях могут возникнуть только два угла по 90° там, где продолжение стороны дошло до контура многоугольника).
Заметим, что общее количество углов в 270° уменьшилось. Если они еще остались, будем повторять операцию с частями. В конце мы получим n частей без углов 270°, то есть n прямоугольников с общей суммой углов
S = 360°n ≤ (2k – 2)180°, откуда
n ≤ k – 1.
Из леммы следует, что в нашем многоугольнике число вершин больше 200,
иначе его можно разбить на 99 прямоугольников. Разобьём его на m треугольников и рассмотрим сумму их углов: S = 180°m. Найдём теперь S, учитывая, что углы треугольников входят в состав углов многоугольника. Каждый угол многоугольника даёт вклад не менее
90° (из угла 270° может быть вычтено 180°, если его вершина лежит на стороне какого-нибудь треугольника), поэтому S = 180°m > 200·90°, откуда m > 100, что и требовалось.
а) Докажите, что любой неравносторонний треугольник можно
разрезать на неравные треугольники, подобные исходному.
б) Докажите, что правильный треугольник нельзя разрезать на
неравные правильные треугольники.
Решение
а) Можно считать, что
BC/
AC =
k > 1. Приложим к треугольнику
ABC
треугольники 1, 2, 3, 4 и 5 (см. рис.). Может оказаться, что
треугольники 4 и 5 равны, т. е.
k +
k3 =
k4. В этом случае
дополним конструкцию треугольниками 6 и 7, а треугольник 5
заменим треугольником 8. Тогда треугольники 7 и 8 не равны,
т. е.
k6 ≠
k +
k3 +
k5. В самом деле, так как
k +
k3 =
k4, то
k6 =
k2(
k +
k3) =
k3 +
k5 <
k +
k3 +
k5.
б) Предположим, что правильный треугольник разрезан на неравные
правильные треугольники. Стороны двух треугольников разбиения не
могут совпадать. Будем рассматривать только стороны
треугольников разбиения, лежащие внутри (не на границе)
исходного треугольника; пусть
N — число таких сторон.
Возникает три
типа вершин треугольников разбиения (см. рис.).
Из каждой вершины 1-го, 2-го и 3-го типа выходит
соответственно 4, 12 и 6 сторон. Пусть
n1,
n2 и
n3 —
количества точек 1-го, 2-го и 3-го типа.
Тогда
N = (4
n1 + 12
n2 + 6
n3)/2 = 2
n1 + 6
n2 + 3
n3.
Каждой точке 3-го типа можно сопоставить 3 стороны (на рис.
это стороны
AB,
OP и
OQ). Легко проверить, что каждая
сторона будет соответствовать хотя бы одной точке 3-го типа.
Следовательно,
N
3
n3, а значит,
2
n1 + 6
n2 0. В
частности,
n1 = 0, т. е. разбиение состоит лишь из исходного треугольника.
Дан бумажный треугольник, площадь которого равна ½, а квадраты всех сторон – целые числа.
Докажите, что в него можно завернуть квадрат с площадью ¼ (треугольник можно сгибать, но нельзя резать).
Решение
1. Будем называть элементарным треугольник с площадью ½ и целыми квадратами сторон. Элементарный треугольник со сторонами 1, 1, и 
обозначим через Δ.
Назовем переклейкой операцию разрезания треугольника ABC по медиане AM и склеивания получившихся треугольников ABM и ACM по равным отрезкам BM и CM в новый треугольник со сторонами AB, AC и 2AM.
2. Покажем, что из любого элементарного треугольника δ можно переклейками получить Δ.
Заметим, что переклейка переводит элементарный треугольник в элементарный: площадь не меняется, а из формулы 4m² = 2b² + 2c² – a² следует, что целочисленность квадратов сторон тоже сохраняется.
Будем переклеивать произвольный элементарный треугольник δ следующим образом: если у δ есть тупой угол, то будем разрезать его по медиане из этого угла. Тогда наибольшая сторона треугольника будет уменьшаться, и так как квадраты сторон целые, то когда-нибудь мы получим элементарный треугольник δ, являющийся прямоугольным или остроугольным. В этом случае синус наибольшего угла не меньше 
поэтому произведение сторон, прилегающих к нему, не больше 
значит, они обе единичные, а тогда угол между ними – прямой. Таким образом, мы получили Δ.
3. Если δ' получен переклейками из δ, то и δ можно получить переклейками из δ'. Следовательно, любой элементарный треугольник δ может быть получен переклейками из Δ.
4. Будем называть треугольник δ оберткой, если квадрат со стороной ½ можно завернуть в δ так, чтобы каждые две точки, лежащие на одной стороне δ и равноудаленные от середины этой стороны, совместились.
Треугольник Δ является оберткой: перегнём его по средним линиям, параллельным катетам.
Предположим, что треугольник δ = ABC является оберткой, и пусть AM – одна из его медиан. Рассмотрим способ заворачивания в неё квадрата, склеим в нём все пары точек стороны BC, равноудалённые от M, и разрежем её вдоль AM. В результате получим, что переклейка треугольника ABC по медиане AM также является оберткой. Отсюда, вкупе с пунктом 3, следует утверждение задачи.
Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 185]
Фильтр
