Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 37]
Дан выпуклый пятиугольник
ABCDE. Сторонами, противоположными вершинам
A,
B,
C,
D,
E, мы называем соответственно отрезки
CD,
DE,
EA,
AB,
BC. Докажите, что если произвольную точку
M,
лежащую внутри пятиугольника, соединить прямыми со всеми его вершинами, то из
этих прямых либо ровно одна, либо ровно три, либо ровно пять пересекают стороны
пятиугольника, противоположные вершинам, через которые они проходят.
|
|
Сложность: 5 Классы: 10,11
|
На прямоугольном столе лежат равные картонные квадраты k
различных цветов со сторонами, параллельными сторонам стола. Если рассмотреть
любые k квадратов различных цветов, то какие-нибудь два из них
можно прибить к столу одним гвоздем.
Докажите, что все квадраты некоторого цвета
можно прибить к столу 2k-2 гвоздями.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Докажите, что количество способов разрезать квадрат $999 \times 999$ на уголки из трёх клеток делится на $2^7$.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Пентамино «крест» состоит из пяти квадратиков $1\times1$ (четыре квадратика примыкают по стороне к пятому). Можно ли из шахматной доски $8\times8$ вырезать, не обязательно по клеткам, девять таких крестов?

Страница:
<< 2 3 4 5
6 7 8 >> [Всего задач: 37]