Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 296]

Задача 65966

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Внутри равностороннего треугольника ABC отмечена точка M так, что ∠АМС = 150°.
Докажите, что отрезки АМ, ВМ и СМ таковы, что сумма квадратов двух из них равна квадрату третьего.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66294

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В треугольнике АВС ∠В = 110°, ∠С = 50°. На стороне АВ выбрана такая точка Р, что ∠РСВ = 30°, а на стороне АС – такая точка Q, что
∠ABQ = 40°. Найдите угол QPC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65875

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Тимохин М.

Дан правильный 2n-угольник A₁A₁...A_2n с центром O, причём n ≥ 5. Диагонали A₂A_n–1 и A₃A_n пересекаются в точке F, а A₁A₃ и A₂A_2n–2 – в точке P.
Докажите, что PF = PO.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111847

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Автор: Филимонов В.П.

Дан остроугольный треугольник ABC. Точки M и N – середины сторон AB и BC соответственно, точка H – основание высоты, опущенной из вершины B. Описанные окружности треугольников AHN и CHM пересекаются в точке P (P ≠ H). Докажите, что прямая PH проходит через середину отрезка MN.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64832

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

В треугольнике АВС проведены высота ВН, медиана ВВ₁ и средняя линия А₁С₁ (А₁ лежит на стороне ВС, С₁ – на стороне АВ). Прямые А₁С₁ и ВВ₁ пересекаются в точке М, а прямые С₁В₁ и А₁Н – в точке N. Докажите, что прямые MN и BH параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 296]