Страница:
<< 32 33 34 35
36 37 38 >> [Всего задач: 241]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Игра происходит на бесконечной плоскости. Играют двое: один передвигает одну фишку-волка, другой – 50 фишек-овец. После хода волка ходит одна из овец, затем, после следующего хода волка, опять какая-нибудь из овец и т. д. И волк, и овцы передвигаются за один ход в любую сторону не более, чем на один метр. Верно ли, что при любой первоначальной позиции волк поймает хотя бы одну
овцу?
Из центра окружности выходят N векторов, концы которых делят её на N равных дуг. Некоторые векторы синие, остальные – красные. Подсчитаем сумму углов "красный вектор – синий вектор" (каждый угол вычисляется от красного вектора к синему против часовой стрелки) и разделим её на общее число всех таких углов. Докажите, что полученная величина "среднего угла" равна 180°.
Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа a1, a2, ..., an, что
a1 > a2 > ... > an > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов 
отлична от нулевого вектора.
Сумма расстояний между серединами противоположных сторон
четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что
этот четырёхугольник — параллелограмм.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Дано множество точек O, A1, A2, ..., An на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют
такие векторы x и y, что для любой точки Ai выполняется равенство 
где k и l – некоторые целые числа.
Страница:
<< 32 33 34 35
36 37 38 >> [Всего задач: 241]
Фильтр
