ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 109742

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 110090

Темы:   [ Системы точек ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам ]
[ Теория игр (прочее) ]
[ Метод координат на плоскости ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
Прислать комментарий     Решение


Задача 56846

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Шестиугольники ]
Сложность: 8+
Классы: 9,10,11

Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73810

Темы:   [ Неравенства с векторами ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Скалярное произведение ]
[ Условная сходимость ]
Сложность: 9
Классы: 9,10,11

а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.

б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.

в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
Прислать комментарий     Решение


Задача 97902

Темы:   [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Векторы (прочее) ]
[ Вспомогательные проекции ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .