Каталог по темам

Задачи

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 289]

Задача 110062

Темы:	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Произвольные многоугольники	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

Длины сторон многоугольника равны a₁, a₂, ..., a_n. Квадратный трёхчлен f(x) таков, что f(a₁) = f(a₂ + ... + a_n).
Докажите, что если A – сумма длин нескольких сторон многоугольника, B – сумма длин остальных его сторон, то f(A) = f(B).

Прислать комментарий

Решение

Задача 110922

Темы:	[	Симметричная стратегия	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Играют двое. В начале игры есть одна палочка. Первый игрок ломает эту палочку на две части. И так игроки по очереди ломают на две части любую палочку из имеющихся к данному моменту. Если, сломав палочку, игрок может сложить из всех имеющихся палочек один или несколько отдельных треугольников (каждый – ровно из трёх палочек), то он выиграл. Кто из игроков (первый или второй) может обеспечить себе победу независимо от действий другого игрока?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111602

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенство треугольника	]
	[	Наибольшая или наименьшая длина	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дан равносторонний треугольник ABC. Точка K – середина стороны AB, точка M лежит на стороне BC, причём BM : MC = 1 : 3. На стороне AC выбрана точка P так, что периметр треугольника PKM – наименьший из возможных. В каком отношении точка P делит сторону AC?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116725

Темы:	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]
	[	Сумма длин диагоналей четырехугольника	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Внутри круга отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой.
Докажите, что их можно разбить на пары и провести прямую через каждую пару так, чтобы все точки пересечения прямых были в круге.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55327

Темы:	[	Теорема косинусов	]
Темы:	[	Неравенство треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В прямоугольнике ABCD сторона AB втрое длиннее стороны BC. Внутри прямоугольника расположена точка N, причём AN = $\sqrt{2}$ , BN = 4 $\sqrt{2}$ , DN = 2. Найдите косинус угла BAN и площадь прямоугольника ABCD.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 37 38 39 40 41 42 43 >> [Всего задач: 289]