Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

а) Докажите, что в любом многоугольнике, кроме треугольника, есть хотя бы одна диагональ, целиком лежащая внутри него.
б) Выясните, какое наименьшее число таких диагоналей может иметь n-угольник.

Решение

а) Если многоугольник выпуклый, то утверждение очевидно. Предположим теперь, что внутренний угол многоугольника при вершине A больше 180°. Видимая часть стороны видна из точки A под углом меньше 180°, поэтому из точки A видны части по крайней мере двух сторон. Следовательно, существуют лучи, выходящие из точки A, на которых происходит смена (частей) сторон, видимых из точки A (на рис. изображены все такие лучи). Каждый из этих лучей задаёт диагональ, целиком лежащую внутри многоугольника.

б) Из рис. видно, как построить n-угольник, у которого ровно  n – 3  диагонали лежат внутри его. Остаётся доказать, что у любого n-угольника есть по крайней мере  n – 3  диагонали. При  n = 3  это утверждение очевидно. Предположим, что утверждение верно для всех k-угольников, где  k < n,  и докажем его для n-угольника. Согласно а) n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника:  (k+1)-угольник и (n–k+1)-угольник, причём  k + 1 < n  и  n – k + 1 < n.  У них имеется соответственно по крайней мере  (k + 1) – 3  и  (n – k + 1) – 3  диагоналей, лежащих внутри. Поэтому у n-угольника имеется по крайней мере  1 + (k – 2) + (n – k – 2) = n – 3  диагонали, лежащих внутри.

Прислать комментарий

Чему равно наибольшее число вершин невыпуклого n-угольника, из которых нельзя провести диагональ?

Решение

Докажем сначала, что если A и B — соседние вершины n-угольника, то из A или из B можно провести диагональ. Случай, когда внутренний угол многоугольника при вершине A больше 180^o, разобран в решении задачи 22.20, а). Предположим теперь, что угол при вершине A меньше 180^o. Пусть B и C — вершины, соседние с A. Если внутри треугольника ABC нет других вершин многоугольника, то BC — диагональ, а если P — ближайшая к A вершина многоугольника, лежащая внутри треугольника ABC, то AP — диагональ. Следовательно, число вершин, из которых нельзя провести диагональ, не превосходит [n/2] (т. е. целой части числа n/2). С другой стороны, существуют n-угольники, для которых эта оценка достигается (рис.).

Прислать комментарий

Докажите, что любой n-угольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.

Решение

Докажем это утверждение индукцией по n. При n = 3 оно очевидно. Предположим, что утверждение доказано для всех k-угольников, где k < n, и докажем его для любого n-угольника. Любой n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника (см. задачу 22.20, а)), причем число вершин у каждого из них строго меньше n, т. е. их можно разрезать на треугольники по предположению индукции.

Прислать комментарий

Докажите, что сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n - 2) 180^o.

Решение

Докажем это утверждение по индукции. При n = 3 оно очевидно. Предположим, что оно доказано для всех k-угольников, где k < n, и докажем его для любого n-угольника. Любой n-угольник можно разрезать диагональю на два многоугольника (см. задачу 22.20, а)). Если число сторон одного из них равно k + 1, то число сторон второго равно n - k + 1, причем оба числа меньше n. Поэтому суммы углов этих многоугольников равны (k - 1) ^. 180^o и  (n - k - 1) ^. 180^o соответственно. Ясно также, что сумма углов n-угольника равна сумме углов этих многоугольников, т. е. она равна (k - 1 + n - k - 1) ^. 180^o = (n - 2) ^. 180^o.

Прислать комментарий

Докажите, что количество треугольников, на которые непересекающиеся диагонали разбивают n-угольник, равно n - 2.

Решение

Сумма всех углов полученных треугольников равна сумме углов многоугольника, т. е. она равна (n - 2) ^. 180^o (см. задачу 22.23). Поэтому количество треугольников равно n - 2.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]