Страница:
<< 106 107 108 109
110 111 112 >> [Всего задач: 1050]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Фокуснику завязывают глаза, а зритель выкладывает в ряд N одинаковых монет, сам выбирая, какие – орлом вверх, а какие – решкой. Ассистент фокусника просит зрителя написать на листе бумаги любое целое число от 1 до N и показать его всем присутствующим. Увидев число, ассистент указывает зрителю на одну из монет ряда и просит перевернуть её. Затем фокуснику развязывают глаза, он смотрит на ряд монет и безошибочно определяет написанное зрителем число.
a) Докажите, что если у фокусника с ассистентом есть способы, позволяющие фокуснику гарантированно отгадывать число для N = a и для N = b, то есть способ и для N = ab.
б) Найдите все значения N, для которых у фокусника с ассистентом есть такой способ.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В республике математиков выбрали число α > 2 и выпустили монеты достоинствами в 1 рубль, а также в αk рублей при каждом натуральном k. При этом α было выбрано так, что достоинства всех монет, кроме самой мелкой, иррациональны. Могло ли оказаться, что любую сумму в натуральное число рублей можно набрать этими монетами, используя монеты каждого достоинства не более 6 раз?
Какое наибольшее количество белых и чёрных пешек можно расставить на клетчатой доске 9×9 (пешку, независимо от её цвета, можно ставить на любую клетку доски) так, чтобы никакая из них не била никакую другую (в том числе и своего цвета)? Белая пешка бьёт две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с бóльшим номером, а чёрная – две соседние по диагонали клетки на соседней горизонтали с меньшим номером (см. рисунок).
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Есть клетчатая доска 2015×2015. Дима ставит в k клеток по детектору. Затем Коля располагает на доске клетчатый корабль в форме квадрата 1500×1500. Детектор в клетке сообщает Диме, накрыта эта клетка кораблём или нет. При каком наименьшем k Дима может расположить детекторы так, чтобы гарантированно восстановить расположение корабля?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
а) Есть 2n + 1 батарейка (n > 2). Известно, что хороших среди них на одну больше, чем плохих, но какие именно батарейки хорошие, а какие плохие, неизвестно. В фонарик вставляются две батарейки, при этом он светит, только если обе они хорошие. За какое наименьшее число таких попыток можно гарантированно добиться, чтобы фонарик светил?
б) Та же задача, но батареек 2n (n > 2), причём хороших и плохих поровну.
Страница:
<< 106 107 108 109
110 111 112 >> [Всего задач: 1050]
Фильтр
