Сто положительных чисел записаны по кругу. Квадрат каждого числа равен сумме двух чисел, стоящих за этим числом по часовой стрелке.
Какие числа могут быть записаны?

   Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 330]      

Середины противоположных рёбер тетраэдра соединены. Доказать, что сумма трёх полученных отрезков меньше полусуммы рёбер тетраэдра.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC  (AB > BC)  проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

На стороне BC треугольника ABC взята произвольная точка D. Через D и A проведены окружности ω₁ и ω₂ так, что прямая BA касается ω₁, прямая CA касается ω₂. BX – вторая касательная, проведённая из точки B к окружности ω₁, CY – вторая касательная, проведённая из точки C к окружности ω₂. Докажите, что описанная окружность треугольника XDY касается прямой BC.

Прислать комментарий

Решение

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC и линейка, на которой отмечены два отрезка, равные AC и BC . Пользуясь только этой линейкой, найдите центр вписанной окружности треугольника, образованного средними линиями ABC .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 330]