Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 236]      

Через точку S , лежащую вне окружности с центром O , проведены две касательные, касающиеся окружности в точках A и B , и секущая, пересекающая окружность в точках M и N . Прямые AB и SO пересекаются в точке K . Докажите, что точки M , N , K и O лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AB и AC остроугольного треугольника ABC взяты точки C2 и B2 соответственно, причём отрезок BC2 равен высоте BB1 , а отрезок CB2 – высоте CC1 . Докажите, что точки B1 , B2 , C1 и C2 лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$; $D$ – произвольная точка отрезка $AC$; $A_1$, $A_2$ – точки пересечения перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на биссектрису $CI$, с прямыми $BC$ и $AI$ соответственно. Аналогично определяются точки $C_1$, $C_2$. Докажите, что шесть точек $B$, $A_1$, $A_2$, $I$, $C_1$, $C_2$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника ABC, точки B и C, а также точка пересечения биссектрис внешних углов с вершинами B и C лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC поведены медианы AA₁ и BB₁. Докажите, что если  ∠CAA₁ = ∠CBB₁,  то  AC = BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 236]