ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 199]      



Задача 109889

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

В каждой клетке квадратной таблицы размером n×n клеток  (n ≥ 3)  записано число 1 или –1. Если взять любые две строки, перемножить числа, стоящие в них друг над другом и сложить n получившихся произведений, то сумма будет равна 0. Докажите, что число n делится на 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109938

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

На доске записано целое число. Его последняя цифра запоминается, затем стирается и, умноженная на 5, прибавляется к тому числу, что осталось на доске после стирания. Первоначально было записано число 71998. Может ли после применения нескольких таких операций получиться число 19987?
Прислать комментарий     Решение


Задача 110029

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты ]
[ Четность и нечетность ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9

Даны числа 1, 2, ..., N, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделать все числа белыми?

Прислать комментарий     Решение

Задача 116711

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Инварианты ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

У Носорога на шкуре есть вертикальные и горизонтальные складки. Всего складок 17. Если Носорог чешется боком о дерево, то либо две горизонтальные, либо две вертикальные складки на этом боку пропадают, зато на другом боку прибавляются две складки: горизонтальная и вертикальная. (Если двух складок одного направления нет, то ничего не происходит.) Носорог почесался несколько раз. Могло ли случиться, что на каждом боку вертикальных складок стало столько, сколько там раньше было горизонтальных, а горизонтальных стало столько, сколько там было вертикальных?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60916

Темы:   [ Ним-сумма ]
[ Инварианты ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Марсианские амебы II. При помощи ним-сумм (смотри задачу 5.76) можно исследовать самые разные игры и процессы. Например, можно получить еще одно решение задачи 4.20.
Постройте на множестве марсианских амеб {ABC} функцию f, для которой выполнялись бы равенства

f (A) $\displaystyle \oplus$ f (B) = f (C),    f (A) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (B),    f (B) $\displaystyle \oplus$ f (C) = f (A).

Какие рассуждения остается провести, чтобы решить задачу про амеб?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 24 25 26 27 28 29 30 >> [Всего задач: 199]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .