В неравнобедренном треугольнике $ABC$ точка $M$ – середина $BC$, $P$ – ближайшая к $A$ точка пересечения луча $AM$ и вписанной окружности треугольника, $Q$ – дальняя от $A$ точка пересечения луча $AM$ и вневписанной окружности. Касательная к вписанной окружности в точке $P$ пересекает $BC$ в точке $X$, а касательная к вневписанной окружности в точке $Q$ пересекает $BC$ в точке $Y$. Докажите, что $MX=MY$.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 201]      

Дана шахматная доска. Разрешается перекрашивать другой цвет сразу все клетки, расположенные внутри любого квадрата 2×2.
Может ли при этом на доске остаться ровно одна чёрная клетка?

Прислать комментарий

Решение

Даны шесть чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Разрешается к любым двум из них прибавлять по 1.
Можно ли, проделав это несколько раз, сделать эти числа равными?

Прислать комментарий

Решение

Набор чисел a, b, c каждую секунду заменяется на a + b − c, b + c − a, c + a − b. В начале имеется набор чисел 2000, 2002, 2003. Может ли через некоторое время получиться набор 2001, 2002, 2003.

Прислать комментарий

Решение

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

Прислать комментарий

Решение

На столе лежит куча из 637 ракушек. Из неё убирают одну ракушку и кучу делят на две (не обязательно поровну). Затем из какой-нибудь кучи, содержащей больше одной ракушки, снова убирают одну ракушку и снова кучу делят на две. И так далее. Можно ли через несколько ходов оставить на столе только кучи, состоящие из трёх ракушек?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 201]