Подтемы:
-
Выделение полного квадрата. Суммы квадратов
(51 задача)
Метод спуска
(19 задач)
Обратный ход
(45 задач)
Подсчет двумя способами
(224 задачи)
Разбиения на пары и группы; биекции
(332 задачи)
Итерации
(70 задач)
Процессы и операции
(326 задач)
Перебор случаев
(203 задачи)
Замена переменных
(31 задача)
Симметрия и инволютивные преобразования
(22 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 165 166 167 168 169 170 171 >> [Всего задач: 1240]
Дана последовательность целых чисел, построенная следующим образом:
a1 — произвольное трёхзначное число,
a2 — сумма квадратов его цифр,
a3 — сумма квадратов цифр числа a2 и т.д. Докажите, что в
последовательности a1, a2, a3, ...обязательно встретится либо 1,
либо 4.
В прямоугольнике площадью 5 кв. единиц расположены девять прямоугольников,
площадь каждого из которых равна единице. Докажите, что площадь общей части
некоторых двух прямоугольников больше или равна 1/9.
Даны 2n конечных последовательностей из нулей и единиц, причём ни одна из
них не является началом никакой другой. Доказать, что сумма длин этих
последовательностей не меньше
n . 2n.
Можно ли выбрать некоторые натуральные числа так, чтобы при любом натуральном
значении n хотя бы одно из чисел n, n + 50 было выбрано и хотя бы одно из
чисел n, n + 1987 не было выбрано?
Страница: << 165 166 167 168 169 170 171 >> [Всего задач: 1240]
Задача 77948 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78085 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78300 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 79514 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 97838 |
|
|
Для каждого натурального n обозначим через P(n) число разбиений n в сумму натуральных слагаемых (разбиения, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми; например, P(4) = 5, потому что 4 = 4 = 1 + 3 = 2 + 2 = 1 + 1 + 2 = 1 + 1 + 1 + 1 – пять способов).
а) Количество различных чисел в данном разбиении назовем его разбросом (например, разбиение 4 = 1 + 1 + 2 имеет разброс 2, потому что в этом разбиении два различных числа). Докажите, что сумма Q(n) разбросов всех разбиений числа n равна 1 + P(1) + P(2) + ... + P(n–1).
б) Докажите, что
|
|
|
Решение |
Страница: << 165 166 167 168 169 170 171 >> [Всего задач: 1240]
