Подтемы:
-
Выделение полного квадрата. Суммы квадратов
(51 задача)
Метод спуска
(19 задач)
Обратный ход
(45 задач)
Подсчет двумя способами
(224 задачи)
Разбиения на пары и группы; биекции
(332 задачи)
Итерации
(70 задач)
Процессы и операции
(326 задач)
Перебор случаев
(203 задачи)
Замена переменных
(31 задача)
Симметрия и инволютивные преобразования
(22 задачи)
Фильтр
Задачи
Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1240]
С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:
Замок Мерлина состоит из 100 комнат и 1000 коридоров.
Каждый коридор соединяет какие-то две комнаты, каждые две комнаты соединены не более чем одним коридором.
Мерлин выдал мудрецам план замка и объявил испытание. Мудрецы должны будут распределиться по комнатам, как хотят. Далее каждую минуту Мерлин указывает коридор, и один из мудрецов переходит по нему из комнаты на любом его конце в комнату на другом его конце. Мерлин победит, если когда-то укажет коридор, на концах которого нет мудрецов.
Число $m$ назовём волшебным числом замка, если $m$ мудрецов могут, сговорившись перед испытанием, действовать так, чтобы никогда не проиграть, причём $m$ — минимальное такое число. Чему может равняться волшебное число замка? (Все, включая Мерлина, всегда знают расположение всех мудрецов.)
На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?
На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно
забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15
площади стола.
(Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)
Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1240]
Задача 73675 |
|
|
А) приписать на конце
Б) приписать на конце
В) разделить на 2 (если число чётно).
Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А
а) Из числа 4 получите
б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.
|
|
|
Решение |
Задача 67496 |
|
|
Число $m$ назовём волшебным числом замка, если $m$ мудрецов могут, сговорившись перед испытанием, действовать так, чтобы никогда не проиграть, причём $m$ — минимальное такое число. Чему может равняться волшебное число замка? (Все, включая Мерлина, всегда знают расположение всех мудрецов.)
|
|
|
Решение |
Задача 110178 |
|
|
В 100 ящиках лежат яблоки, апельсины и бананы. Докажите, что можно так выбрать 51 ящик, что в них окажется не менее половины всех яблок, не менее половины всех апельсинов и не менее половины всех бананов.
|
|
|
Решение |
Задача 66617 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 78080 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 169 170 171 172 173 174 175 >> [Всего задач: 1240]
