Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Капитан Врунгель в своей каюте разложил перетасованную колоду из 52 карт
по кругу, оставив одно место свободным. Матрос Фукс с палубы, не отходя от штурвала и не зная начальной раскладки, называет карту. Если эта карта лежит рядом со свободным местом, Врунгель её туда передвигает, не сообщая Фуксу. Иначе ничего не происходит. Потом Фукс называет ещё одну карту, и так сколько угодно раз, пока сам не скажет "стоп". Может ли Фукс добиться того, чтобы после "стопа" каждая карта наверняка оказалась не там, где была вначале?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги.
Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка,
стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к
дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в
которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Клетчатая полоска 1×1000000 разбита на 100 сегментов. В каждой клетке записано целое число, причём в клетках, лежащих в одном сегменте, числа совпадают. В каждую клетку поставили по фишке. Затем сделали такую операцию: все фишки одновременно передвинули, каждую – на то количество клеток вправо, которое указано в её клетке (если число отрицательно, то фишка двигается влево); при этом оказалось, что в каждую клетку снова попало по фишке. Эту операцию повторяют много раз. Для каждой фишки первого сегмента подсчитали, через сколько операций она впервые снова окажется в этом сегменте. Докажите, что среди полученных чисел не более 100 различных.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Натуральные числа от 1 до n расставляются в ряд в произвольном порядке. Расстановка называется плохой, если в ней можно отметить 10 чисел (не обязательно стоящих подряд), идущих в порядке убывания. Остальные расстановки называются хорошими. Докажите, что количество хороших расстановок не превосходит 81n.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
С натуральным числом (записываемым в десятичной системе) разрешено проделывать следующие операции:
А) приписать на конце цифру 4;
Б) приписать на конце цифру 0;
В) разделить на 2 (если число чётно).
Например, если с числом 4 проделаем последовательно операции В, В, А и Б, то получим число 140.
а) Из числа 4 получите число 1972.
б)* Докажите, что из числа 4 можно получить любое натуральное число.
Страница:
<< 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 44]
Фильтр
