Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 326]

Задача 67491

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?

Прислать комментарий Решение

Задача 67595

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Сумма длин диагоналей четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

а) В тридевятом царстве $n$ городов. Иван-царевич строит дороги по одной (сначала дорог нет). Каждый раз он выбирает два города, не соединённых напрямую дорогой, расстояние между которыми наименьшее, и соединяет их прямолинейной дорогой. Строительство заканчивается, когда становится возможным проехать из любого города в любой (напрямую или через другие города). Обязательно ли никакие две построенные дороги не будут пересекаться вне городов?
б) Тот же вопрос, если каждый раз выбираются два ближайших друг к другу города, между которыми невозможен проезд (даже через другие города).

Прислать комментарий Решение

Задача 78529

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Собрались 2n человек, каждый из которых знаком не менее чем с n присутствующими. Доказать, что можно выбрать из них четырёх человек и рассадить их за круглым столом так, что при этом каждый будет сидеть рядом со своими знакомыми (n $\ge$ 2).

Прислать комментарий Решение

Задача 78670

Темы:	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

На плоскости даны три точки. Из них выбираются любые две, строится серединный перпендикуляр к отрезку, их соединяющему, и все точки отражаются относительно этой прямой, затем из всех точек (старых и новых) снова выбираются какие-то две точки и вся процедура повторяется. Так делается бесконечно много раз. Доказать, что в плоскости найдётся такая прямая, что все полученные точки будут лежать по одну сторону от нее.

Прислать комментарий Решение

Задача 111321

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Автор: Новодворская Е.А.

Василиса Премудрая решила запереть Кощея в прямом коридоре, разделенном тремя проходами на четыре комнаты, причем в каждом проходе, облокотившись на одну из стен, стоит толстый усталый стражник. Каждый раз, когда Кощей переходит из одной комнаты в другую, стражник переходит к противоположной стене и облокачивается на нее. Если все стражники облокотятся на одну стену, она не выдержит и рухнет, а Кощей выйдет на свободу. Может ли Василиса изначально так прислонить стражников и разместить Кощея, чтобы он никогда не смог выбраться?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 326]