Каталог по темам

Задачи

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 326]

Задача 64718

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Бакаев Е.В.

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66259

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]
	[	ГМТ - прямая или отрезок	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Протасов В.Ю.

В точке X сидит преступник, а три полицейских, находящихся в точках A, B и C, блокируют его, то есть точка X лежит внутри треугольника ABC. Новый полицейский сменяет одного из них следующим образом: он занимает точку, равноудаленную от всех трёх полицейских, после чего один из троих уходит, и оставшаяся тройка по-прежнему блокирует преступника. Так происходит каждый вечер. Может ли случиться, что через какое-то время полицейские вновь займут точки A, B и C (известно, что точка X ни разу не попала на сторону треугольника)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 73656

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Для любых n вещественных чисел a₁, a₂, ..., a_n существует такое натуральное k ≤ n, что каждое из k чисел a_k, ½ (a_k + a_k–1),
⅓ (a_k + a_k–1 + a_k–2), ..., ¹/_k (a_k + a_k–1 + ... + a₂ + a₁) не превосходит среднего арифметического c чисел a₁, a₂, ..., a_n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107981

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Спивак А.В.

Существует ли конечное слово из букв русского алфавита, в котором нет двух соседних одинаковых подслов, но таковые появляются при приписывании (как справа, так и слева) любой буквы русского алфавита.

Комментарий. Словом мы называем любую последовательность букв русского алфавита, не обязательно осмысленную, подсловом называется любой фрагмент слова. Например, АБВШГАБ - слово, а АБВ, Ш, ШГАБ - его подслова.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109493

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Итерации	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Петухов А.В.

С ненулевым числом разрешается проделывать следующие операции: x , x . Верно ли, что из каждого ненулевого рационального числа можно получить каждое рациональное число с помощью конечного числа таких операций?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 326]