Каталог по темам

Задачи

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 326]

Задача 73812

Темы:	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Графы (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 7,8,9

Автор: Штейнберг А.М.

Задано несколько красных и несколько синих точек. Некоторые из них соединены отрезками. Назовём точку «особой», если более половины из соединённых с ней точек имеют цвет, отличный от её цвета. Если есть хотя бы одна особая точка, то выбираем любую особую точку и перекрашиваем в другой цвет. Докажите, что через конечное число шагов не останется ни одной особой точки.

Прислать комментарий Решение

Задача 109614

Темы:	[	Инварианты	]
Темы:	[	Процессы и операции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Изместьев И.В.

Имеется три кучи камней. Сизиф таскает по одному камню из кучи в кучу. За каждое перетаскивание он получает от Зевса количество монет, равное разности числа камней в куче, в которую он кладёт камень, и числа камней в куче, из которой он берёт камень (сам перетаскиваемый камень при этом не учитывается). Если указанная разность отрицательна, то Сизиф возвращает Зевсу соответствующую сумму. (Если Сизиф не может расплатиться, то великодушный Зевс позволяет ему совершать перетаскивание в долг.) В некоторый момент оказалось, что все камни лежат в тех же кучах, в которых лежали первоначально. Каков наибольший суммарный заработок Сизифа на этот момент?

Прислать комментарий

Решение

Задача 111336

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Горбачев А.Н.

Назовём усложнением числа приписывание к нему одной цифры в начало, в конец или между любыми двумя его цифрами. Существует ли натуральное число, из которого невозможно получить полный квадрат с помощью ста усложнений?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78631

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Рассматриваются всевозможные n-значные числа, составленные из цифр 1, 2 и 3. В конце каждого из этих чисел приписывается цифра 1, 2 или 3 так, что к двум числам, у которых во всех разрядах стоят разные цифры, приписываются разные цифры. Доказать, что найдется n-значное число, в записи которого участвует лишь одна единица и к которому приписывается единица.

Прислать комментарий Решение

Задача 78676

Темы:	[	Композиции поворотов	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Круглый пирог режут следующим образом. Вырезают сектор с углом $\alpha$ , переворачивают его на другую сторону и весь пирог поворачивают на угол $\beta$ . Дано, что $\beta$ < $\alpha$ < 180^o. Доказать, что после некоторого конечного числа таких операций каждая точка пирога будет находиться на том же месте, что и в начале.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 326]