Страница:
<< 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 326]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
На бесконечной клетчатой бумаге отмечено шесть клеток (см. рисунок).
На некоторых клетках стоят фишки. Положение фишек разрешается преобразовывать
по следующему правилу: если клетки соседняя сверху и соседняя справа от данной фишки обе свободны, то можно поставить в эти клетки по фишке, убрав при этом старую. Ставится цель за некоторое количество таких операций освободить все шесть отмеченных клеток. Можно ли достигнуть этой цели, если
а) в исходной позиции имеются всего 6 фишек, и они стоят на отмеченных клетках;
б) в исходной позиции имеется всего одна фишка, и она стоит в левой нижней отмеченной клетке.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
По одной стороне бесконечного коридора расположено бесконечное количество
комнат, занумерованных числами от минус бесконечности до плюс бесконечности. В
комнатах живут 9 пианистов (в одной комнате могут жить несколько пианистов),
кроме того, в каждой комнате находится по роялю. Каждый день какие-то два
пианиста, живущие в соседних комнатах (k-й и (k+1)-й), приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k–1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Докажите, что через конечное число дней эти переселения прекратятся. (Пианисты, живущие в одной комнате, друг другу не мешают.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
В таблице из n столбцов и 2n строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В коробке лежат карточки, занумерованные натуральными
числами от 1 до 2006. На карточке
с номером 2006 лежит карточка с номером 2005
и т. д. до 1. За ход разрешается взять одну верхнюю
карточку (из любой коробки) и переложить ее либо на дно пустой коробки, либо на
карточку с номером на единицу больше. Сколько пустых коробок нужно для
того, чтобы переложить все карточки в другую коробку?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Али-Баба и разбойник делят клад, состоящий из 100 золотых монет, разложенных в
10 кучек по 10 монет. Али-Баба выбирает 4 кучки, ставит около каждой из них по
кружке, откладывает в каждую кружку по несколько монет (не менее одной, но не
всю кучку). Разбойник должен как-то переставить кружки, изменив их
первоначальное расположение, после чего монеты высыпаются из кружек в те кучки,
около которых оказались кружки. Далее Али-Баба снова выбирает 4 кучки из 10,
ставит около них кружки, и т. д. В любой момент Али-Баба может уйти, унеся с
собой любые три кучки по выбору. Остальные монеты достаются разбойнику. Какое
наибольшее число монет сможет унести Али-Баба, если разбойник тоже старается
получить побольше монет?
Страница:
<< 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 326]
Фильтр
