Страница:
<< 4 5 6 7 8
9 10 >> [Всего задач: 49]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Два многочлена P(x) = x4 + ax³ + bx² + cx + d и Q(x) = x² + px + q принимают отрицательные значения на некотором интервале I длины более 2, а вне I – неотрицательны. Докажите, что найдётся такая точка x0, что P(x0) < Q(x0).
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
В бесконечной последовательности a1, a2, a3, ... число a1 равно 1,
а каждое следующее число an строится из предыдущего an–1 по правилу: если у числа n наибольший нечётный делитель имеет остаток 1 от деления на 4, то an = an–1 + 1, если же остаток равен 3, то an = an–1 – 1. Докажите, что в этой последовательности
а) число 1 встречается бесконечно много раз;
б) каждое натуральное число встречается бесконечно много раз.
(Вот первые члены этой последовательности: 1, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 4, 3, ...)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Имеется пирог некоторой формы. Докажите, что его можно
разрезать на четыре равные по массе части двумя прямолинейными
перпендикулярными разрезами.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Из высот треугольника можно составить треугольник. Верно ли, что из его биссектрис также можно составить треугольник?
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Существует ли выпуклый N-угольник, все стороны которого равны, а все вершины лежат на параболе y = x², если
а) N = 2011;
б) N = 2012?
Страница:
<< 4 5 6 7 8
9 10 >> [Всего задач: 49]
Фильтр
