Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97806

Темы:   [ Комбинаторика (прочее) ] [ Индукция в геометрии ] [ Алгоритм Евклида ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

k вершин правильного n-угольника закрашены. Закраска называется почти равномерной, если для любого натурального m верно следующее условие: если M₁ – множество m расположенных подряд вершин и M₂ – другое такое множество, то количество закрашенных вершин в M₁ отличается от количества закрашенных вершин в M₂ не больше чем на 1. Доказать, что для любых натуральных n и  k ≤ n  почти равномерная закраска существует и что она единственна с точностью до поворотов закрашенного множества.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65045

Темы:   [ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Средняя линия треугольника ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Существует ли неравнобедренный треугольник, у которого медиана, проведённая из одной вершины, биссектриса, проведённая из другой, и высота, проведённая из третьей, равны?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116252

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Доказательство от противного ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметическая прогрессия ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Две команды шахматистов одинаковой численности сыграли матч: каждый сыграл по одному разу с каждым из другой команды. В каждой партии давали 1 очко за победу, ½ – за ничью и 0 – за поражение. В итоге команды набрали поровну очков. Докажите, что какие-то два участника матча тоже набрали поровну очков, если в обеих командах было:
  а) по 5 шахматистов;
  б) произвольное равное число шахматистов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116688

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями