Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116245

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Существуют ли такие натуральные числа a, b, c, d, что  a³ + b³ + c³ + d³ = 100¹⁰⁰ ?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116584

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Числа a и b таковы, что   a³ – b³ = 2,  a⁵ – b⁵ ≥ 4.   Докажите, что  a² + b² ≥ 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35276

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Тождественные преобразования ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что n также является суммой двух точных квадратов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60504

Темы:   [ Алгоритм Евклида ] [ Тождественные преобразования ] [ Обыкновенные дроби ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

При каких целых $n$ число
  а) $\frac{n^4+3}{n^2+n+1}$;   б) $\frac{n^3+n+1}{n^2-n+1}$   также будет целым?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60943

Темы:   [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Тождественные преобразования ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Докажите, что корни уравнения
  а)  (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – a)(x – c) = 0;
  б)  c(x – a)(x – b) + a(x – b)(x – c) + b(x – a)(x – c) = 0
всегда вещественные.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 105]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями