Каталог по темам

Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 150]

Задача 110007

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Необычные конструкции	]
	[	Парадоксы	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Дольников В.Л.

Каждый голосующий на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии n кандидатов. На избирательном участке находится n+1 урна. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит по крайней мере один бюллетень и при всяком выборе (n+1) -го бюллетеня по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

Прислать комментарий Решение

Задача 110146

Темы:	[	Необычные конструкции	]
Темы:	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Автор: Рубанов И.С.

Набор из 2003 положительных чисел таков, что для любых двух входящих в него чисел a и b ( a>b ) хотя бы одно из чисел a+b или a-b тоже входит в набор. Докажите, что если данные числа упорядочить по возрастанию, то разности между соседними числами окажутся одинаковыми.

Прислать комментарий Решение

Задача 60910

Темы:	[	Необычные конструкции	]
Темы:	[	Троичная система счисления	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Множество Кантора. Отрезок числовой оси от 0 до 1 покрашен в зеленый цвет. Затем его средняя часть — интервал (1/3;2/3) перекрашивается в красный цвет, потом средняя часть каждого из оставшихся зелеными отрезков тоже перекрашивается в красный цвет, с оставшимися зелеными отрезками проделывается та же операция и так до бесконечности. Точки, оставшиеся зелеными, образуют множество Кантора.
а) Найдите сумму длин красных интервалов.
б) Докажите, что число 1/4 останется окрашенным в зеленый цвет.
в) Из суммы

$\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{3}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{9}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{27}}$ + $\displaystyle {\textstyle\dfrac{2}{81}}$ +...

произвольным образом вычеркнуты слагаемые. Докажите, что сумма оставшихся слагаемых — зеленое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73560

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Правило произведения	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

В множестве, состоящем из n элементов, выбрано 2^n–1 подмножеств, каждые три из которых имеют общий элемент.
Докажите, что все эти подмножества имеют общий элемент.

Прислать комментарий Решение

Задача 98237

Темы:	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Задачи с ограничениями	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Бродский Н.

Фигура Ф представляет собой пересечение n кругов (n ≥ 2, радиусы не обязательно одинаковы). Какое максимальное число криволинейных "сторон" может иметь фигура Ф? (Криволинейная сторона – это участок границы Ф, принадлежащий одной из окружностей и ограниченный точками пересечения с другими окружностями.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 150]