Страница:
<< 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 279]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Таня задумала натуральное число X ≤ 100, а Саша пытается
его угадать. Он выбирает пару натуральных чисел M и N, меньших 100, и задаёт вопрос: "Чему равен наибольший общий делитель X + M и N?" Докажите, что Саша может угадать Танино число, задав семь таких вопросов.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Пусть a1, a2, ..., a10 – натуральные числа, a1 < a2 < ... < a10. Пусть bk – наибольший делитель ak, меньший ak. Оказалось, что b1 > b2 > ... > b10.
Докажите, что a10 > 500.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
На каждой из сторон правильного $N$-угольника живёт робот. Каждый робот едет по своей стороне со своей постоянной скоростью, в вершине мгновенно разворачивается и продолжает ехать с той же скоростью в противоположном направлении, и так далее. Когда два робота встречаются в какой-то вершине, там вспыхивает искра. Могло ли оказаться, что в каждой вершине искры вспыхивают с одной и той же ненулевой частотой, если
а) $N=3$;
б) $N=5$?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Найдите все такие тройки натуральных чисел m, n и l, что m + n = (НОД(m, n))², m + l = (НОД(m, l))², n + l = (НОД(n, l))².
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
По окружности расставлено 100 натуральных чисел, взаимно простых в совокупности. Разрешается прибавлять к любому числу наибольший общий делитель его соседей. Докажите, что при помощи таких операций можно сделать все числа попарно взаимно простыми.
Страница:
<< 20 21 22 23 24 25 26 >> [Всего задач: 279]
Фильтр
