Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 6061]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 34912

Темы:   [ Неравенство Коши ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 3

Докажите, что для положительных чисел x₁, x₂, ..., x_n, не превосходящих 1, выполнено неравенство
   

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34929

Тема:   [ Арифметическая прогрессия ]

Сложность: 3

Натуральный ряд разбит на n арифметических прогрессий (каждое натуральное число принадлежит ровно одной из этих n прогрессий). Пусть d₁, d₂, ..., d_n – разности этих прогрессий. Докажите, что   ¹/_d1 + ¹/_d2 + ... + ¹/_dn = 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34971

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Найдите все целые решения уравнения  y^k = x² + x,  где k – фиксированное натуральное число, большее 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34979

Темы:   [ Средние величины ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8

Имеется набор натуральных чисел (известно, что чисел не меньше семи), причём сумма каждых семи из них меньше 15, а сумма всех чисел из набора равна 100. Какое наименьшее количество чисел может быть в наборе?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 34988

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Докажите, что ни при каком натуральном m число  1998^m – 1  не делится на 1000^m – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 217 218 219 220 221 222 223 >> [Всего задач: 6061]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями