Страница:
<< 104 105 106 107 108
109 110 >> [Всего задач: 549]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из
n² цветов так, что в каждом квадрате из
n× клеток встречаются все цвета.
Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в
n цветов.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что при любом разбиении ста "двузначных" чисел 00, 01, ..., 99 на две группы некоторые числа хотя бы одной группы можно записать в ряд так, чтобы каждые два соседних числа этого ряда отличались друг от друга на 1, 10 или 11, и хотя бы в одном из двух разрядов (единиц или десятков) встречались все 10 различных цифр.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 10,11
|
а) Каждая сторона равностороннего треугольника разбита на m равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезавшие треугольник на m² маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить N вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин A и B отрезок АВ не был параллелен ни одной из сторон. Каково наибольшее возможное значение N (при заданном m)?
б) Разделим каждое ребро тетраэдра на m равных частей и через точки деления проведём плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим N вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное N?
в) Среди решений уравнения x1 + x2 + ... + xk = m в целых неотрицательных числах нужно выбрать N решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений ни одна переменная xi не принимала одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение N?
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
|
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску так, чтобы они не били друг друга
а) две ладьи; б) двух королей; в) двух слонов; г) двух коней; д) двух ферзей?
Все фигуры одного цвета.
|
|
|
Сложность: 3-
Классы: 7,8,9
|
У Игоря и Вали есть по белому квадрату 8×8, разбитому на клетки 1×1. Они закрасили по одинаковому числу клеток на своих квадратах в синий цвет. Докажите, что удастся так разрезать эти квадраты на доминошки 2×1, что и из доминошек Игоря и из доминошек Вали можно будет сложить по квадрату 8×8 с одной и той же синей картинкой.
Страница:
<< 104 105 106 107 108
109 110 >> [Всего задач: 549]
Фильтр
