Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 507]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57373  [Неравенство Птолемея]

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четырехугольник (неравенства) ] [ Теорема Птолемея ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что  AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108043

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Трапеции (прочее) ] [ Выход в пространство ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

В трапеции ABCD  AB – основание,  AC = BC,  H – середина AB. Пусть l – прямая, проходящая через точку H и пересекающая прямые AD и BD в точках P и Q соответственно. Докажите, что либо углы ACP и QCB равны, либо их сумма равна 180°.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108155

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательная окружность ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Окружность S₁, проходящая через вершины A и B треугольника ABC, пересекает сторону BC в точке D. Окружность S₂, проходящая через вершины B и C, пересекает сторону AB в точке E и окружность S₁ вторично в точке F. Оказалось, что точки A, E, D, C лежат на окружности S₃ с центром O. Докажите, что угол BFO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52460  [Теорема о бабочке]

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вспомогательная окружность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Радикальная ось ] [ Применение проективных преобразований, сохраняющих окружность ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезок KN пересекает AB в точке P. Отрезок LM пересекает AB в точке Q. Докажите, что  PC = QC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56893  [Теорема Морли]

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектрисы углов B и C пересекаются в точке A₁; аналогично определим точки B₁ и C₁ (см. рис.). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 507]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями