ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
Подтемы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]
Ребро PA четырёхугольной пирамиды PABCD перпендикулярно плоскости основания ABCD . Ребро PA равно 6. Основание ABCD – квадрат со стороной 8. Точки M и N – середины отрезков AD и CD . Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду SDMN .
Плоскость проходит через сторону основания правильной четырёхугольной пирамиды и делит пополам двугранный угол при этой стороне. Найдите площадь основания пирамиды наименьшего объёма, если известно, что указанная плоскость пересекает высоту пирамиды в точке, удалённой на расстояние d от плоскости основания.
Окружность с центром I , вписанная в грань ABC треугольной пирамиды SABC , касается отрезков AB , BC , CA в точках D , E , F соответственно. На отрезках SA , SB , SC отмечены соответственно точки A' , B' , C' так, что AA'=AD , BB'=BE , CC'=CF ; S' – точка на описанной сфере пирамиды, диаметрально противоположная точке S . Известно, что SI является высотой пирамиды. Докажите, что точка S' равноудалена от точек A' , B' , C' .
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем
Докажите, что следующие свойства тетраэдра равносильны: 1) все грани равновелики; 2) каждое ребро равно противоположному; 3) все грани равны; 4) центры описанной и вписанной сфер совпадают; 5) суммы углов при каждой вершине равны; 6) сумма плоских углов при каждой вершине равна 180o ; 7) развёртка тетраэдра представляет собой остроугольный треугольник, в котором проведены средние линии; 8) все грани – остроугольные треугольники с одинаковым радиусом описанной окружности; 9) ортогональная проекция тетраэдра на каждую из трёх плоскостей, параллельных двум противоположным рёбрам, – прямоугольник; 10) параллелепипед, полученный в результате проведения через противоположные рёбра трёх пар параллельных плоскостей, – прямоугольный; 11) высоты тетраэдра равны; 12) точка пересечения медиан совпадает с центром описанной сферы; 13) точка пересечения медиан совпадает с центром вписанной сферы; 14) сумма плоских углов при трёх вершинах равна 180o ; 15) сумма плоских углов при двух вершинах равна 180o и два противоположных ребра равны.
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 37]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке