Квадратный трехчлен  y = ax² + bx + c  не имеет корней и  а + b + c > 0.  Найдите знак коэффициента с.

   Решение

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

   Решение

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Правильные многоугольники ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На двух сторонах AB и BC правильного 2n-угольника взято по точке K и N, причём угол KEN, где E – вершина, противоположная B, равен ^180°/_2n. Докажите, что NE – биссектриса угла KNC.

Подсказка

На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, равные BA. Точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника. Рассмотрите поворот на угол ^360°/_2n вокруг точки E.

Решение 1

   Пусть O — центр вневписанной окружности треугольника KBN, касающейся стороны KN. Отрезок KN виден из точки O под углом
90° – ¹/₂ ∠B  = ^180°/_2n (см. задачу 55448). Но на биссектрисе BE угла B, очевидно, есть только одна точка, из которой отрезок KN виден под указанным углом, и по условию это — точка E. Следовательно, точки O и E совпадают и NE — биссектриса внешнего угла KNC треугольника KBN.

Решение 2

  На продолжениях сторон BA и BC правильного 2n-угольника за точки A и C отложим отрезки AA₁ и CC₁, равные BA. Поскольку  ∠A₁BC₁ = ∠ABC  и  A₁B = C₁B,  то точки A₁, B и C₁ являются вершинами другого правильного 2n-угольника, причём точка E – центр этого 2n-угольника.
  При повороте на угол ^360°/_2n вокруг точки E точка A₁ перейдёт в точку B, точка B — в C₁, а точка K – в некоторую точку K₁ отрезка CC₁. Тогда
EK₁ = EK,  а   ∠NEK₁ = ∠KEK₁ – ∠KEN  = ^360°/_2n – ^180°/_2n = ^180°/_2n = ∠KEN.   Поэтому треугольники NEK₁ и NEK равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно,  ∠KNE = ∠K₁NE = ∠CNE,  то есть NE – биссектриса угла KNC.

Источники и прецеденты использования