Версия для печати
Убрать все задачи

---

Различные числа a, b и c таковы, что уравнения  x² + ax + 1 = 0  и  x² + bx + c = 0  имеют общий действительный корень. Кроме того, общий действительный корень имеют уравнения  x² + x + a = 0  и  x² + cx + b = 0.  Найдите сумму  a + b + c.

   Решение

---

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

   Решение

---

Числовое множество M, содержащее 2003 различных числа, таково, что для каждых двух различных элементов a, b из M число
   рационально. Докажите, что для любого a из M число    рационально.

   Решение

---

Окружности , и  имеют одинаковые радиусы и касаются сторон углов A, B и C треугольника ABC соответственно. Окружность  касается внешним образом всех трех окружностей , и . Докажите, что центр окружности  лежит на прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.

   Решение

---

Даны две точки A и B и окружность. Найти на окружности точку X так, чтобы прямые AX и BX отсекли на окружности хорду CD, параллельную данной прямой MN.

   Решение

---

Назовём натуральное число интересным, если сумма его цифр – простое число.
Какое наибольшее количество интересных чисел может быть среди пяти подряд идущих натуральных чисел?

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на стороне AB треугольника ABC,  AM = a,  BM = b,  CM = c,  c < a,  c < b.
Найдите наименьший радиус описанной окружности такого треугольника.

Решение

  Пусть K – середина AB и  a ≥ b.  Так как  MK = ½ (a – b),  то по неравенству треугольника  CK ≤ ½ (a – b) + c < ½ (a – b) + b = ½ (a + b) = ½ AB.  Значит, точка C лежит внутри окружности, построенной на AB как на диаметре; следовательно, угол C – тупой.
  Пусть O – центр описанной окружности Ω треугольника ABC. Так как хорда AB фиксирована, то радиус будет наименьшим, когда угол AOB – наибольший. Так как  ∠C = 180° – ½ ∠AOB,  то угол C должен быть наименьшим.
  С другой стороны, точка C лежит на окружности с центром в точке M и радиусом c. Докажем, что угол C будет наименьшим, когда эта окружность касается Ω. Пусть это не так и указанные окружности пересекаются в точках C₁ и C₂ (рис. справа). Тогда, выбрав точку C на меньшей дуге C₁C₂ (вне большой окружности), получим, что  ∠C < ∠AC₁B = ∠AC₂B.  Противоречие.

  Так как окружности касаются, то точки O, M и C лежат на одной прямой (рис. слева). Обозначим искомый радиус через R. По теореме о произведении длин отрезков хорд  с(2R – с) = ab,  откуда  R = ½ (^ab/_c + c).

Ответ

½ (^ab/_c + c).

Источники и прецеденты использования