Расставьте по кругу шесть различных чисел так, чтобы каждое из них равнялось произведению двух соседних.

   Решение

На плоскости дано 4000 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 1000 непересекающихся четырехугольников (возможно, невыпуклых) с вершинами в этих точках.

   Решение

Докажите, что любой треугольник можно разрезать на 2019 четырёхугольников, каждый из которых одновременно вписанный и описанный.

   Решение

Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.

   Решение

Два квадрата расположены, как показано на рисунке. Докажите, что площадь чёрного треугольника равна сумме площадей серых.

   Решение

Две параболы с различными вершинами являются графиками квадратных трёхчленов со старшими коэффициентами p и q. Известно, что вершина каждой из парабол лежит на другой параболе. Чему может быть равно  p + q?

   Решение

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Треугольник ABC вписан в окружность с центром O. Точки D и E диаметрально противоположны вершинам A и B соответственно. Хорда DF параллельна стороне BC. Прямая EF пересекает сторону AC в точке G, а сторону BC – в точке H. Докажите, что  OG || BC  и  EG = GH = GC.

Подсказка

Используя равенство дуг, заключённых между параллельными хордами, докажите, что CG – медиана прямоугольного треугольника EHC.

Решение

  Поскольку  ∠AFD = ∠BCE = 90°,  то  AF || EC,  поэтому меньшие дуги AE и FC равны. Значит,  ∠GEC = ∠FEC = ∠ACE = ∠GCE,  то есть треугольник EGC – равнобедренный. Его вершина G лежит на серединном перпендикуляре к отрезку EC, поэтому G – середина гипотенузы EH прямоугольного треугольника EHC. Следовательно,  EG = GH = GC.
  Отрезок OG – средняя линия треугольника BEH. Следовательно,  OG || BC.

Источники и прецеденты использования