В боковой стенке цилиндрического бака вблизи дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону H(t) = 7,2-1,92t+0,128t² , где t  — время в минутах. В течение какого времени вода будет вытекать из бака?

   Решение

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

   Решение

На доске был нарисован четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. В нем отметили центры этих окружностей и точку пересечения прямых, соединяющих середины противоположных сторон, после чего сам четырехугольник стерли. Восстановите его с помощью циркуля и линейки.

   Решение

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 1280 К, a = 26 К/мин, b = -0,2 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

   Решение

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

   Решение

На доске написаны два различных натуральных числа a и b. Меньшее из них стирают, и вместо него пишут число    (которое может уже оказаться нецелым). С полученной парой чисел делают ту же операцию и т.д. Докажите, что в некоторый момент на доске окажутся два равных натуральных числа.

   Решение

На сторонах AB, BC и CA произвольного треугольника ABC взяты точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Обозначим через S₁, S₂ и S₃ площади треугольников AB₁C₁, BA₁C₁, CA₁B₁ соответственно. Докажите, что  

   Решение

Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD=BC . Найдите биссектрису CD и площадь треугольника ABC , если BC=2 .

   Решение

Даны точки  A(–1, 5)  и  B(3, –7).  Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка AB.

   Решение

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны точки  A(–1, 5)  и  B(3, –7).  Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка AB.

Решение

Координаты середины M отрезка AB равны  x₀ = ½ (– 1 + 3) = 1,  y₀ = ½ (5 – 7) = 1.  Следовательно, OM – диагональ единичного квадрата (O – начало координат).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования